thuis / wetenschap / wiskunde / Hoe differentiële lineaire vergelijkingen op te lossen

Hoe differentiële lineaire vergelijkingen op te lossen

/
72 Bekeken

Hoe differentiële lineaire vergelijkingen op te lossen</a>

De differentiaalvergelijking waarin de onbekende functie en de derivaten omvatten lineaire, dat wil zeggen de eerste graad, zogenaamde lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde.

instructie

    1

Een algemene weergave van een eerste orde lineaire differentiaalvergelijking:

y? + P (x) * y = f (x)

waarbij y - onbekende functie, en p (x) en f (x) -sommige specifieke functies. Ze worden beschouwd als continue in het gebied waarin u de vergelijking te integreren zijn. In het bijzonder kunnen deze constanten.

    2

Als f (x)? dan respectievelijk inhomogene - 0, dan wordt de vergelijking als niet genoemd odnorodnym-.

    3

De lineaire homogene vergelijking worden opgelost door scheiding van variabelen. De algemene vorm: y? + P (x) * y = 0, dus:

dy / dx = p (x) y *, waarbij dat dy / y = p (x) dx inhoudt.

    4

De integratie van beide zijden van de resulterende vergelijking, krijgen we:

? (Dy / y) = - P (x) dx, d.w.z. ln (y) = - P (x) dx + ln (C) of y = C * e ^ (- P (x) dx) ).

    5

Oplossing van de inhomogene lineaire vergelijking kan wordenonttrekken aan de oplossingen van de overeenkomstige homogene, dat wil zeggen, dezelfde vergelijking met de rechterkant van de gevallen f (x). Hiertoe vervangt de constante C in de oplossing van de homogene vergelijking onbekende functie? (X). Waarna de oplossing van de inhomogene vergelijking wordt gepresenteerd in de vorm van:

? Y = (x) * e ^ (- P (x) dx)).

    6

Differentiërende deze uitdrukking, zien we dat de afgeleide van y:

y? = ?? (x) * e ^ (- P (x) dx) - (X) * p (x) * e ^ (- P (x) dx).

Het vervangen van de uitdrukkingen voor y en y? in de oorspronkelijke vergelijking vereenvoudigen en gemakkelijk te verkrijgen zijn het resultaat:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

    7

Na de integratie van beide zijden van het krijgt soort:

? (X) = (F (x) * e ^ (? P (x) dx)) dx + C1.

Aldus wordt de onbekende functie y uitgedrukt als:

y = e ^ (- p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

    8

Als we gelijk de constante C tot nul, dan is de uitdrukking voor y kan een specifieke oplossing van de gegeven vergelijking te verkrijgen:

y1 = (e ^ (- p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Vervolgens kan een totaaloplossing worden uitgedrukt als:

y = y1 + C * e ^ (- p (x) dx)).

    9

Met andere woorden, een volledige oplossing van het lineaireinhomogene differentiaalvergelijking van de eerste orde is gelijk aan de som van de specifieke oplossing en de algemene oplossing van het corresponderende homogene lineaire vergelijking van de eerste orde.

Hoe differentiële lineaire vergelijkingen op te lossen Het is voor het laatst gewijzigd: 21 juni 2017 door vashuorm
Het belangrijkste binnenhouder voettekst